Question

10．已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，BE=GE，AG=A′G，F(xiàn)是線段A′C上的點(diǎn)，EF∥平面ACB．
（I）求證：BC⊥AF；
（2）若$\frac{CF}{CA′}$=λ，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AA′⊥BC，AC⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面ACC′A′，由此能證明BC⊥AF．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出$λ=\frac{1}{4}$．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，
∴AA′⊥BC，AC⊥BC，
∵AC∩BC=C，∴BC⊥平面ACC′A′，
∵F是線段A′C上的點(diǎn)，∴AF?平面ACC′A′，
∴BC⊥AF．
解：（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BE=GE，AG=A′G，F(xiàn)是線段A′C上的點(diǎn)，EF∥平面ACB，
設(shè)AC=a，BC=b，AA₁=c，
∴B（0，b，0），G（a，0，$\frac{c}{2}$），E（$\frac{a}{2}，\frac{2}，\frac{c}{4}$），A′（a，0，c），
∵$\frac{CF}{CA′}$=λ，∴F（λa，0，λc），∴$\overrightarrow{EF}$=（$λa-\frac{a}{2}$，-$\frac{2}$，$λc-\frac{c}{4}$），
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}$=$λc-\frac{c}{4}$=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．