Question

7．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項依次構成公差為d₁的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構成公差為d₂的等差數(shù)列（其中d₁，d₂為整數(shù)），且對任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，若a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}的前10項和S₁₀=75，則d₁=，3，a₈=11．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項依次構成公差為d₁的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構成公差為d₂的等差數(shù)列，且對任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}的前10項和S₁₀=75，可得5×1+$\frac{5×4}{2}$d₁+$5×2+\frac{5×4}{2}$×d₂=75，化為：d₁+d₂=6．且對任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，其中d₁，d₂為整數(shù)．可得a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項依次構成公差為d₁的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構成公差為d₂的等差數(shù)列，且對任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}的前10項和S₁₀=75，
∴5×1+$\frac{5×4}{2}$d₁+$5×2+\frac{5×4}{2}$×d₂=75，化為：d₁+d₂=6．
且對任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，其中d₁，d₂為整數(shù)．
a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，
1+（k-1）d₁＜2+（k-1）d₂＜1+kd₁，
取k=2時，可得1+d₁＜2+d₂＜1+2d₁．
∴d₁=3=d₂．
∴a₈=a₂+3d₂=2+3×3=11．
故答案分別為：3，11．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．