Question

8．已知函數(shù)f（x）=log_ax+a-e（a＞0且a≠1，e=2.71828…）過點(diǎn)（1，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f²（x）-2f（e²x）+3，若g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立，求k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1在區(qū)間（-$\frac{3}{2}$，2]上有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（1，0）代入函數(shù)解析式，求出a的值即得f（x）的解析式；
（2）化簡函數(shù)g（x），把g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立轉(zhuǎn)化為求g（x）在x∈[e^-1，e²]上的最大值問題，從而求出k的取值范圍；
（3）化簡函數(shù)h（x），討論m的取值，求出h（x）在區(qū)間（-$\frac{3}{2}$，2]上有零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_ax+a-e過點(diǎn)（1，0），
∴f（1）=a-e=0，
解得a=e，
∴函數(shù)f（x）=lnx；
（2）∵g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立，
即k≥g（x）_max；
函數(shù)g（x）=f²（x）-2f（e²x）+3
=ln²x-2ln（e²x）+3
=ln²x-2lnx-1
=（lnx-1）²-2，
令t=lnx，∵x∈[e^-1，e²]，
∴t∈[-1，2]，∴y=（t-1）²-2，
當(dāng)t=-1時(shí)，y取得最大值2，
即g（x）_max=2，
∴k的取值范圍是k≥2；
（3）【解法一】∵函數(shù)h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1
=e^ln（x+1）+mx²-3m+1
=（x+1）+mx²-3m+1，其中x＞-1；
由h（x）=0，得m=-$\frac{x+2}{{x}^{2}-3}$（x≠±$\sqrt{3}$且-$\frac{3}{2}$＜x≤2）；
∴m=-$\frac{x+2}{{（x+2）}^{2}-4（x+2）+1}$，
令u=x+2（$\frac{1}{2}$＜u≤4且u≠2±$\sqrt{3}$），
則m=-$\frac{u}{{u}^{2}-4u+1}$=-$\frac{1}{u+\frac{1}{u}-4}$；
令p（u）=u+$\frac{1}{u}$，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜u＜1時(shí)，p（u）是減函數(shù)，
當(dāng)1＜u≤4時(shí)，p（u）是增函數(shù)；
且p（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，p（1）=2，p（4）=$\frac{17}{4}$，
∴2≤p（u）≤$\frac{17}{4}$且p（u）≠4，
∴0＜4-p（u）≤2或-$\frac{1}{4}$≤4-p（u）＜0，
∴m的取值范圍是m≥$\frac{1}{2}$或m≤-4．
【解法二】；函數(shù)h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1
=e^ln（x+1）+mx²-3m+1
=（x+1）+mx²-3m+1，其中x∈（-$\frac{3}{2}$，2]；
當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=x+2的零點(diǎn)是-2，不滿足題意；
當(dāng)m≠0時(shí)，若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上有二重零點(diǎn)，
則△=1-4m（2-3m）=0，解得m=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$，
此時(shí)x₁=x₂=-$\frac{1}{2m}$∈（-$\frac{3}{2}$，2]，∴m=$\frac{1}{2}$；
若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是二重零點(diǎn)，
則h（-$\frac{3}{2}$）•h（1）≤0，解得m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$，
驗(yàn)證m=-4和m=$\frac{2}{3}$時(shí)，h（x）在（-$\frac{3}{2}$，2]上都有零點(diǎn)，∴m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$；
若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上有二個(gè)相異零點(diǎn)時(shí)，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＞0}\\{-\frac{3}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2}\\{h（2）≥0}\\{h（-\frac{3}{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△＞0}\\{-\frac{3}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2}\\{h（2）≤0}\\{h（-\frac{3}{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{2}{3}$，
綜上，m的取值范圍是m≤-4或m≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，零點(diǎn)的判斷問題，同時(shí)也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是綜合性題目．