8.已知函數(shù)f(x)=logax+a-e(a>0且a≠1,e=2.71828…)過點(diǎn)(1,0).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f2(x)-2f(e2x)+3,若g(x)-k≤0在x∈[e-1,e2]上恒成立,求k的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=af(x+1)+mx2-3m+1在區(qū)間(-$\frac{3}{2}$,2]上有零點(diǎn),求m的取值范圍.

分析 (1)把點(diǎn)(1,0)代入函數(shù)解析式,求出a的值即得f(x)的解析式;
(2)化簡函數(shù)g(x),把g(x)-k≤0在x∈[e-1,e2]上恒成立轉(zhuǎn)化為求g(x)在x∈[e-1,e2]上的最大值問題,從而求出k的取值范圍;
(3)化簡函數(shù)h(x),討論m的取值,求出h(x)在區(qū)間(-$\frac{3}{2}$,2]上有零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=logax+a-e過點(diǎn)(1,0),
∴f(1)=a-e=0,
解得a=e,
∴函數(shù)f(x)=lnx;
(2)∵g(x)-k≤0在x∈[e-1,e2]上恒成立,
即k≥g(x)max;
函數(shù)g(x)=f2(x)-2f(e2x)+3
=ln2x-2ln(e2x)+3
=ln2x-2lnx-1
=(lnx-1)2-2,
令t=lnx,∵x∈[e-1,e2],
∴t∈[-1,2],∴y=(t-1)2-2,
當(dāng)t=-1時(shí),y取得最大值2,
即g(x)max=2,
∴k的取值范圍是k≥2;
(3)【解法一】∵函數(shù)h(x)=af(x+1)+mx2-3m+1
=eln(x+1)+mx2-3m+1
=(x+1)+mx2-3m+1,其中x>-1;
由h(x)=0,得m=-$\frac{x+2}{{x}^{2}-3}$(x≠±$\sqrt{3}$且-$\frac{3}{2}$<x≤2);
∴m=-$\frac{x+2}{{(x+2)}^{2}-4(x+2)+1}$,
令u=x+2($\frac{1}{2}$<u≤4且u≠2±$\sqrt{3}$),
則m=-$\frac{u}{{u}^{2}-4u+1}$=-$\frac{1}{u+\frac{1}{u}-4}$;
令p(u)=u+$\frac{1}{u}$,當(dāng)$\frac{1}{2}$<u<1時(shí),p(u)是減函數(shù),
當(dāng)1<u≤4時(shí),p(u)是增函數(shù);
且p($\frac{1}{2}$)=$\frac{5}{2}$,p(1)=2,p(4)=$\frac{17}{4}$,
∴2≤p(u)≤$\frac{17}{4}$且p(u)≠4,
∴0<4-p(u)≤2或-$\frac{1}{4}$≤4-p(u)<0,
∴m的取值范圍是m≥$\frac{1}{2}$或m≤-4.
【解法二】;函數(shù)h(x)=af(x+1)+mx2-3m+1
=eln(x+1)+mx2-3m+1
=(x+1)+mx2-3m+1,其中x∈(-$\frac{3}{2}$,2];
當(dāng)m=0時(shí),h(x)=x+2的零點(diǎn)是-2,不滿足題意;
當(dāng)m≠0時(shí),若h(x)=x+1+mx2-3m+1在(-$\frac{3}{2}$,2]上有二重零點(diǎn),
則△=1-4m(2-3m)=0,解得m=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$,
此時(shí)x1=x2=-$\frac{1}{2m}$∈(-$\frac{3}{2}$,2],∴m=$\frac{1}{2}$;
若h(x)=x+1+mx2-3m+1在(-$\frac{3}{2}$,2]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是二重零點(diǎn),
則h(-$\frac{3}{2}$)•h(1)≤0,解得m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$,
驗(yàn)證m=-4和m=$\frac{2}{3}$時(shí),h(x)在(-$\frac{3}{2}$,2]上都有零點(diǎn),∴m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$;
若h(x)=x+1+mx2-3m+1在(-$\frac{3}{2}$,2]上有二個(gè)相異零點(diǎn)時(shí),
則$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{△>0}\\{-\frac{3}{2}<-\frac{1}{2m}<2}\\{h(2)≥0}\\{h(-\frac{3}{2})>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m<0}\\{△>0}\\{-\frac{3}{2}<-\frac{1}{2m}<2}\\{h(2)≤0}\\{h(-\frac{3}{2})<0}\end{array}\right.$,解得$\frac{1}{2}$<m<$\frac{2}{3}$,
綜上,m的取值范圍是m≤-4或m≥$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題,考查了不等式的解法與應(yīng)用問題,零點(diǎn)的判斷問題,同時(shí)也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是綜合性題目.

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(2)求橢圓的離心率的范圍;
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(2)若函數(shù)f(x)=2x+b+2x是“可拆函數(shù)”,求實(shí)數(shù)b的取值范圍:
(3)證明:f(x)=cosx是“可拆函數(shù)”.

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