Question

16．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，Q為右支上一點(diǎn)，P點(diǎn)在直線x=-a上，且滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），可知OQ垂直平分PF₂，求出P的坐標(biāo)，可得Q的坐標(biāo)，代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得出a，c的數(shù)量關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），
∴OQ垂直平分PF₂，
∴|OP|=c，
∴P（-a，b），
∴Q（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{2}$），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{（c-a）^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{1}{4}$=1，
∴c-a=$\sqrt{5}$a，
∴c=（$\sqrt{5}$+1）a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$+1，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．