Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），且a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，若函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，記y_n=f（a_n），則數(shù)列{y_n}的前2015項和為（　�。�

• A． 2015
• B． -2015
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=π=…．由函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，
可得：y_n=f（a_n）=sin2a_n+cosa_n+1，f（a₁）+f（a₂₀₁₅）=2sin（a₁+a₂₀₁₅）cos（a₁-a₂₀₁₅）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{2015}}{2}$$cos\frac{{a}_{1}-{a}_{2015}}{2}$+2=2=…，即可得出．

解答 解：∵a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N⁺），
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₁₀₀₈=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=π=…．
∵函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，
∴y_n=f（a_n）=sin2a_n+cosa_n+1，
∵f（a₁）+f（a₂₀₁₅）=sin2a₁+cosa₁+sin2a₂₀₁₅+cosa₂₀₁₅+2=2sin（a₁+a₂₀₁₅）cos（a₁-a₂₀₁₅）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{2015}}{2}$$cos\frac{{a}_{1}-{a}_{2015}}{2}$+2=2=f（a₂）+f（a₂₀₁₄）=…．．
則數(shù)列{y_n}的前2015項和=2×1007+1=2015，
故選：A．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、和差化積、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．