Question

14．已知函數(shù)f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）對于任意的實(shí)數(shù)x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出當(dāng)a=2時，f₁（x）=e^|x-3|，f₂（x）=e^|x-2|+1，再運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值；
（2）問題等價(jià)為：f₁（x）≤f₂（x）對于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，再運(yùn)用絕對值三角不等式求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f₁（x）=e^|x-3|，f₂（x）=e^|x-2|+1，
所以，當(dāng)x∈[2，3]，f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1，
由基本不等式，e^3-x+e^x-1≥2$\sqrt{{e}^{3-x+x-1}}$=2e，
當(dāng)且僅當(dāng)：e^3-x=e^x-1，即x=2時，取“=”，
因此，函數(shù)f（x）的最小值為：2e；
（2）|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）對于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
即f₁（x）≤f₂（x）恒成立，
因此，e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1恒成立，
∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1恒成立，
根據(jù)絕對值三角不等式，
|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|，
即|-a+1|≤1，解得，0≤a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[0，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式和絕對值三角不等式在求最值問題中的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．