Question

3．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式：
（2）求f（x）的在[0，π]上的單增區(qū)間：
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值和函數(shù)的周期性即可求f（x）的解析式：
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的在[0，π]上的單增區(qū)間：
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求α的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，
∴1+A=3，即A=2，
∵圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即函數(shù)的周期T=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，得ω=2，
即f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}$，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{11π}{12}$≤x≤$\frac{17π}{12}$，
∵x∈[0，π]，∴0≤x≤$\frac{5π}{12}$或$\frac{11π}{12}$≤x≤π，
∴函數(shù)的單增區(qū)間為[0，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]．
（3）若f（$\frac{α}{2}$）＞2，
則2sin（α-$\frac{π}{3}$）+1＞2．
即2sin（α-$\frac{π}{3}$）＞1．
則sin（α-$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$．
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{π}{2}$＜α＜2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
即α的取值范圍是（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$），k∈Z，．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．