Question

15．關(guān)于x的不等式${2^{{x^2}+2b}}＜{2^{-ax}}$有唯一整數(shù)解x=1，則$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系建立不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵${2^{{x^2}+2b}}＜{2^{-ax}}$?x²+ax+2b＜0，
∴依題意方程x²+ax+2b=0只有唯一的整數(shù)解x=1，
∴方程x²+ax+2b=0一根在[0，1）內(nèi)，另一根在（1，2]內(nèi)，
即函數(shù)f（x）=x²+ax+2b的圖象與x軸在[0，1）和（1，2]內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）≥0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{b≥0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2≥0}\end{array}}\right.$，作出可行域，如圖所示：

∵$\frac{b-2}{a-1}$為可行域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)P（1，2）的連線的斜率，
由圖可知，k_PA＜$\frac{b-2}{a-1}$＜k_PB，其中點(diǎn)A（-3，1），B（-1，0），
∴k_PA=$\frac{1}{4}$，k_PB=1，故$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1）．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．