Question

18．已知函數(shù)的圖象C′與C：y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$關(guān)于直線y=x對稱，且圖象C′關(guān)于點（2，-3）對稱，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 因為圖象本身關(guān)于直線y=x對稱故可知原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，所以先求反函數(shù)再與原函數(shù)比較可得答案．

解答 解：y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$
則y（x+a+1）=ax+a²+1，得：x=$\frac{{a}^{2}+1-ay-y}{y-a}$，
所以原函數(shù)的反函數(shù)為：y=$\frac{{a}^{2}+1-ax-x}{x-a}$=$\frac{-a+1}{x-a}$-a-1，
所以該函數(shù)圖象關(guān)于（a，-a-1）中心對稱，
又其關(guān)于（2，-3）對稱，
所以a=2．
故選D．

點評 本題主要考查反函數(shù)，反函數(shù)是函數(shù)知識中重要的一部分內(nèi)容．對函數(shù)的反函數(shù)的研究，我們應(yīng)從函數(shù)的角度去理解反函數(shù)的概念，從中發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的本質(zhì)，并能順利地應(yīng)用函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系去解決相關(guān)問題．