Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為M，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，若|AB|=|BM|=4，cos∠ABM=$\frac{3}{4}$，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{15{y}^{2}}{56}=1$．

Answer 1

分析 先利用余弦定理求出a，再求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出b，即可得到橢圓的方程．

解答 解：如圖，
由題意，|OB|=2，|BM|=4，cos∠ABM=$\frac{3}{4}$，
∴OM=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{3}{4}}=2\sqrt{2}$=a，
∴cos∠BOM=$\frac{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}{2×2×2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
sin∠BOM=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴B（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{14}}{2}$），
代入橢圓方程可得$\frac{1}{16}+\frac{14}{4^{2}}=1$，
∴b²=$\frac{56}{15}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{15{y}^{2}}{56}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{15{y}^{2}}{56}=1$．

點評 本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．