Question

17．已知F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，P是y軸正半軸上一點，以OP為直徑的圓在第一象限與雙曲線的漸近線交于點M，若點P，M，F(xiàn)三點共線，且△MFO的面積是△PMO面積的7倍，則雙曲線C的離心率為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得|MF|=7|MP|，OM⊥PF，設F（c，0），求出|MF|=b，可得|PM|，在直角三角形POF中，運用射影定理，化簡可得c，a的關(guān)系，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：如圖以OP為直徑的圓在第一象限與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x交于點M，
由△MFO的面積是△PMO面積的7倍，可得|MF|=7|MP|，
由OM⊥PF，設F（c，0），
可得|MF|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
則|PM|=$\frac{7}$，
在直角三角形POF中，由射影定理可得，
|OF|²=|MF|•|FP|，
即為c²=b•$\frac{8}{7}$b=$\frac{8}{7}$（c²-a²），
則c²=8a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直徑所對的圓周角為直角，以及直角三角形的射影定理，考查運算能力，屬于中檔題．