Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow$=（3，-4tanα），α∈（0，$\frac{π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（1）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|；
（2）求$\frac{2sinαcosα}{sinα+cosα-1}$的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得12+5cosα•（-4tanα）=0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，進而可求cosα，tanα的值，從而解得$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow$=（3，-3），可得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（7，1），即可計算得解|$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$|的值．
（2）由（1）及二倍角公式可得sin2α，即可計算求值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即12+5cosα•（-4tanα）=0，
解得sinα=$\frac{3}{5}$，
又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow$=（3，-3），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（7，1），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5$\sqrt{2}$．
（2）∵由（1）可得sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{2sinαcosα}{sinα+cosα-1}$=$\frac{\frac{24}{25}}{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-1}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．