Question

1．對(duì)于任意的n∈N，試比較（2n+1）²與2²ⁿ的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，分別比較大小，然后猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，2²ⁿ＞（2n+1）²；
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時(shí)，驗(yàn)證結(jié)果正確；（2）假設(shè)當(dāng)n=k，k≥3時(shí)成立，結(jié)果成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，2²ⁿ=4＜（2n+1）²=9；當(dāng)n=2時(shí)，2²ⁿ=16＜（2n+1）²=25；
當(dāng)n=3時(shí)，2²ⁿ=64＞（2n+1）²=49；當(dāng)n=4時(shí)，2²ⁿ=256＞（2n+1）²=81；
由此猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，2²ⁿ＞（2n+1）²；…（4分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時(shí)，顯然結(jié)論成立．…（5分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k，k≥3時(shí)成立，即2^2k＞（2k+1）²；
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^2（k+）=4•2^2k＞4（2k+1）²，…（7分）
因?yàn)?（2k+1）²-[2（2k+1）+1]²=12k²-4k-5=（6k+5）（2k-1）＞0，k≥3，
所以4（2k+1）²＞[2（2k+1）+1]²，…（9分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由（1）（2）知，對(duì)n≥3的一切自然數(shù)，2²ⁿ＞（2n+1）²都成立．…（11分）
綜上，當(dāng)n≥3時(shí)，2²ⁿ＞（2n+1）²；當(dāng)n=1，2時(shí)，2²ⁿ＜（2n+1）²．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等關(guān)系，考查歸納推理，是中檔題．