Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+|m|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；
（2）若f（ax）≥g（ax）對(duì)x∈R及a∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式轉(zhuǎn)化為|x-2|+|a-1＞0，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分類解不等式；
（2）f（ax）≥g（ax），可轉(zhuǎn)化為不等式|ax-2|+|ax+3|＞m恒成立恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|ax-2|+|ax+3|的最小值，就可以求出m的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）+a-1＞0即為|x-2|+a-1＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，解集為x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R；
當(dāng)a＜1時(shí)，解集為（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．
（2）f（ax）≥g（ax），即為|ax-2|＞-|ax+3|+m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
即|ax-2|+|ax+3|＞m恒成立，
又由不等式的性質(zhì)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|ax-2|+|ax+3|≥|（ax-2）-（ax+3）|=5，于是得m＜5，
故m的取值范圍是（-∞，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，涉及面較廣，知識(shí)性較強(qiáng)．