Question

5．設(shè)各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求證：數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到b_nb_n-1+b_nb_n+1+2$\sqrt{_{n-1}_{n}_{n}_{n+1}}$=4b_n•b_n，由此能證明數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）由已知條件推導(dǎo)出$\sqrt{_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），由此能求出{a_n}和{b_n}的通項公式．

解答 解：（1）證明：a_n+a_n+1=2b_n，①
b_nb_n+1=a_n+1²，②
②式兩邊開方得：a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$=$\sqrt{_{n}}$•$\sqrt{_{n}}$，③
①式兩邊平方，展開，然后將③代入，得：
b_nb_n-1+b_nb_n+1+2$\sqrt{_{n-1}_{n}_{n}_{n+1}}$=4b_n•b_n，④
整理，得$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$=2$\sqrt{_{n}}$，
∴數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．
（2）∵a₁=1，a₂=3，b₁=2，且a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴b₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{_{1}}$=$\frac{9}{2}$，$\sqrt{_{2}}$-$\sqrt{_{1}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
∵a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴a_n=$\sqrt{_{n}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{n}^{2}•\frac{1}{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．