Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線截圓（x-2）²+y²=3所得的弦長(zhǎng)等于2$\sqrt{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，雙曲線的一條漸近線方程，運(yùn)用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，可得圓心到漸近線的距離為1，再由點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由圓（x-2）²+y²=3可得圓心（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
由弦長(zhǎng)公式可得2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3-l7idnm2^{2}}$，
可得圓心到直線$y=\frac{a}x$的距離等于1，
故$d=\frac{2b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=1$，
即c=2b，可得$a=\sqrt{{c^2}-{b^2}}=\sqrt{3}b$，
即有$e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{{\sqrt{3}b}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到值的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．