Question

2．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足，當(dāng)x≥0時，f（x）=2^x+t（t為常數(shù)），則f（m）＞0的一個充分不必要條件是（　�。�

• A． m＜3
• B． -2＜m＜2
• C． m＜2
• D． m＞2

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0求出t，設(shè)x＜0則-x＞0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，利用分類討論求出f（m）＞0的解集，結(jié)合答案項選出正確答案．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時f（x）=2^x+t（t為常數(shù)），
∴f（0）=2⁰+t=0，解得t=-1，則當(dāng)x≥0時，f（x）=2^x-1，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=-2^-x+1，
又f（m）＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{{2}^{m}-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{-2}^{-m}+1＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞0，
∴結(jié)合答案項，f（m）＞0的一個充分不必要條件是m＞2，
故選：D．

點評 本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，充要條件的判斷，以及分類討論求不等式的解集，屬于中檔題．