Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x+y-2=0在矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{2}\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線仍為x+y-2=0，求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析 在直線x+y-2=0上取兩點(diǎn)M（2，0），M（0，2）． 在矩陣M，N對(duì)應(yīng)的變換作用下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M′，N′．推導(dǎo)出M′、N′的坐標(biāo)，由題意，M′、N′在直線x+y-2=0上，列出方程組求出A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{2}\end{array}]$，由此能求出矩陣A的逆矩陣A^-1．

解答 解：在直線x+y-2=0上取兩點(diǎn)M（2，0），M（0，2）．M，N在矩陣M，N對(duì)應(yīng)的變換作用下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M′，N′．
∵$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}\\{2b}\end{array}]$，∴M′的坐標(biāo)為（2，2b）；
$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2a}\\{4}\end{array}]$，∴N′的坐標(biāo)為（2a，4）．
由題意，M′、N′在直線x+y-2=0上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+2b-2=0}\\{2a+4-2=0}\end{array}\right.$．
解得a=-1，b=0．
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{2}\end{array}]$，
∵$[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{-1}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{\frac{1}{2}}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$．
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{\frac{1}{2}}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的逆矩陣的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意矩陣初等變換的性質(zhì)的合理運(yùn)用．