Question

11．直線l：y=kx-1與曲線C：（x²+y²-4x+3）y=0有且僅有2個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{4}{3}）$
• B． $（0，\frac{4}{3}]$
• C． $\{\frac{1}{3}，1，\frac{4}{3}\}$
• D． $\{\frac{1}{3}，1\}$

Answer 1

分析 求出直線l：y=kx-1與曲線C相切時k的值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：如圖所示，直線y=kx-1過定點(diǎn)A（0，-1），
直線y=0和圓（x-2）²+y²=1相交于B，C兩點(diǎn)，
圓（x-2）²+y²=1的圓心O（2，0），半徑r=1，
k_AB=$\frac{0-（-1）}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，k_AC=$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1，
過A（0，-1）作圓O的切線AE、AD，切點(diǎn)分別為E，D，連結(jié)AO，
由題意E（2，-1），設(shè)∠OAE=α，則∠DAE=2α，
k_AO=tanα=$\frac{0+1}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
∴k_AD=tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∵直線l：y=kx-1與曲線C：x²+y²-4x+3=0有且僅有2個公共點(diǎn)，
∴結(jié)合圖形得k=$\frac{1}{3}$，或k=1，或k=$\frac{4}{3}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是{$\frac{1}{3}，1，\frac{4}{3}$}．
故選：C．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．