Question

18．已知x為實數(shù)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[-1.2]=2，[1]=1．對于函數(shù)f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）
（Ⅱ）已知f（x）=x+$\frac{a}{x}$，請寫出a的一個值，使得f（x）為Ω函數(shù)，并給出證明；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，其最小周期為T．若f（x）不是Ω函數(shù)，求T的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)Ω函數(shù)的定義直接判斷函數(shù)f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)Ω函數(shù)的定義，分別求k=1，a=$\frac{3}{2}$，進行證明即可；
（Ⅲ）根據(jù)周期函數(shù)的定義，結(jié)合Ω函數(shù)的條件，進行判斷和證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x是Ω函數(shù)，g（x）=sinπx不是Ω函數(shù)；------------------（4分）
（Ⅱ）法一：取k=1，a=$\frac{3}{2}$∈（1，2），--------------------------（5分）
則令[m]=1，m=$\frac{a}{1}$=$\frac{3}{2}$，--------------------------（7分）
此時f（$\frac{3}{2}$）=f（[$\frac{3}{2}$]）=f（1）
所以f（x）是Ω函數(shù)．--------------------------（9分）
法二：取k=1，a=$\frac{1}{2}$∈（0，1），--------------------------（5分）
則令[m]=-1，m=$-\frac{1}{2}$，--------------------------（7分）
此時f（-$\frac{1}{2}$）=f（[-$\frac{1}{2}$]）=f（-1），
所以f（x）是Ω函數(shù)．--------------------------（9分）
（說明：這里實際上有兩種方案：
方案一：設(shè)k∈N^•，取a∈（k²，k²+k），
令[m]=k，m=$\frac{a}{k}$，則一定有m-[m]=$\frac{a}{k}$-k=$\frac{a-{k}^{2}}{k}$∈（0，1），
且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函數(shù)．）
方案二：設(shè)k∈N^•，取a∈（k²-k，k²），
令[m]=-k，m=-$\frac{a}{k}$，則一定有m-[m]=-$\frac{a}{k}$-（-k）=-$\frac{a-{k}^{2}}{k}$∈（0，1），
且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函數(shù)．）
（Ⅲ）T的最小值為1．--------------------------（11分）
因為f（x）是以T為最小正周期的周期函數(shù)，所以f（T）=f（0）．
假設(shè)T＜1，則[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．--------------------------（13分）
所以必有T≥1，
而函數(shù)l（x）=x-[x]的周期為1，且顯然不是Ω函數(shù)，
綜上，T的最小值為1．--------------------------（14分）

點評 本題主要考查與周期函數(shù)有關(guān)的新定義試題，考查學(xué)生的運算和推理能力，綜合性較強，有一定的難度．