Question

7．如果雙曲線過(guò)點(diǎn)（6，-2$\sqrt{2}$），它的兩條漸近線方程x±2y=0，點(diǎn)A（a，0）（a＞0）到雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為d．
（1）求雙曲線方程；
（2）求解析式d=f（a）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為x²-4y²=λ，利用雙曲線過(guò)點(diǎn)（6，-2$\sqrt{2}$），求出λ，即可求雙曲線方程；
（2）首先對(duì)a進(jìn)行討論①0＜a≤2；②a＞2，進(jìn)一步求出點(diǎn)到雙曲線距離的最小值．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為x²-4y²=λ
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)（6，-2$\sqrt{2}$），
∴36-4×8=λ，
∴λ=4，
∴雙曲線方程為$\frac{1}{4}$x²-y²=1；
（2）雙曲線：$\frac{1}{4}$x²-y²=1，若a＞0，
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，點(diǎn)M（a，0）到雙曲線的距離的最小值f（a）=2-a．
②當(dāng)a＞2時(shí)，點(diǎn)M（a，0）到雙曲線的距離的最小值f（a）=a-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線的方程，分類討論思想的應(yīng)用，特殊位置的應(yīng)用，屬于中檔題．