【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx - .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),f(x)<x-1;
(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值,使得存在x0>1,當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),恒有f(x)>k(x-1).
【答案】(1) (0, ) (2)見解析(3) (-∞,1)
【解析】試題分析:(1)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)構(gòu)造函數(shù) ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)利用單調(diào)性的最大值為 ,從而可得結(jié)論;(3)根據(jù)(2)可得, 不合題意, 不合題意,當(dāng) 時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,可得時(shí),符合題意.
試題解析:(1)解:f′(x)= -x+1=,x∈(0,+∞),
由f′(x)>0,得
解得0<x<.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, ).
(2)證明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),
則F′(x)= .
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F′(x)<0,
所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x>1時(shí),F(x)<F(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)<x-1.
(3)解:由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),不存在x0>1滿足題意.
當(dāng)k>1時(shí),對(duì)于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),
則f(x)<k(x-1),
從而不存在x0>1滿足題意.
當(dāng)k<1時(shí),令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),
則G′(x)= -x+1-k=,
由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,
解得x1=<0, x2=>1.
當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增,從而當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),
綜上,k的取值范圍是(-∞,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)分別求A∩B,(RA)∪(RB);
(2)已知集合C={x|a<x<a2+1},若CA,求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線()與軸交于點(diǎn),動(dòng)圓與直線相切,并且與圓相外切,
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程;
(2)若過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn),問(wèn)是否存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)內(nèi)任意一個(gè),都有 成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年1月1日起全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對(duì)放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后和80后作為調(diào)查對(duì)象,隨機(jī)調(diào)查了100位,得到數(shù)據(jù)如表:
生二胎 | 不生二胎 | 合計(jì) | |
70后 | 30 | 15 | 45 |
80后 | 45 | 10 | 55 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
(1)以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率估計(jì)概率,若從該市70后公民中隨機(jī)抽取3位,記其中生二胎的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),是否有90%以上的把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”,并說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù):
P(K2>k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
(參考公式: ,其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù),.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), ,則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C: ,直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).
(1)若直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),求.
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)M和N,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為Sn , 且a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}為等差數(shù)列,則{an}的通項(xiàng)公式an= .
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