Question

16．已知雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條漸近線方程是$\sqrt{3}$x+y=0，點D（1，$\sqrt{2}$）在C上，過點（0，1）且斜率為k的直線1與雙曲線M交于不同的兩點A、B．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）若以線段AB為直徑的圓經過坐標原點O，求實數k的值．

Answer 1

分析 （1）點D（1，$\sqrt{2}$）代入雙曲線方程，結合且雙曲線的一條漸近線的方程是$\sqrt{3}$x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）直接聯立直線與雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點轉化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數關系求解實數k的值．

解答 解：（1）∵雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條漸近線方程是$\sqrt{3}$x+y=0，點D（1，$\sqrt{2}$）在C上，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，
∴雙曲線M的方程為3x²-y²=1；
（2）∵直線l過點（0，1）且斜率為k，
∴直線l：y=kx+1．
代入雙曲線方程得（3-k²）x²-2kx-2=0．
設點A、B的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$
又以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）×$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k×$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+1=0，解得k=±1．
又k=±1滿足3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0，
∴所求實數k=±1．

點評 本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，訓練了利用直線斜率的關系判斷兩直線的垂直關系，是中檔題．