Question

5．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，現(xiàn)將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角B-AC-D，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為$\frac{9}{25}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，分別過(guò)B，D作AC的垂線BE，DF，從而根據(jù)條件可以求出$BE=DF=\frac{12}{5}，AE=CF=\frac{9}{5}$，并且可得到DF⊥BE，從而可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）•（\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}）$，這樣進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦公式可以求出cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞$，這樣便可得出直線AB與直線CD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，
作BE⊥AC，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F；
根據(jù)條件AC=5，$BE=DF=\frac{12}{5}$，$AE=CF=\frac{9}{5}$；
二面角B-AC-D為直二面角；
∴DF⊥平面ABC；
∴DF⊥BE；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）•（\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}）$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{FD}=-\frac{81}{25}+0+0+0=-\frac{81}{25}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{-\frac{81}{25}}{9}=-\frac{9}{25}$；
∴直線AB與直線CD所成角的余弦值為$\frac{9}{25}$．
故答案為：$\frac{9}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，三角形的面積公式，直二面角的概念，面面垂直的性質(zhì)定理，以及向量加法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的余弦的計(jì)算公式，弄清異面直線的所成角和異面直線的方向向量夾角的關(guān)系．