Question

4．求證：
（1）${C}_{n}^{m+1}$${÷C}_{n}^{m}$=$\frac{n-m}{m+1}$；
（2）${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+1}^{m}$${+C}_{m}^{m}$=${C}_{n}^{m+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)組合數(shù)的公式與性質(zhì)，進(jìn)行化簡(jiǎn)、運(yùn)算即可．

解答 證明：（1）${C}_{n}^{m+1}$${÷C}_{n}^{m}$
=$\frac{n!}{（m+1）!•（n-m-1）!}$÷$\frac{n!}{m!•（n-m）!}$
=$\frac{m!•（n-m）!}{（m+1）!•（n-m-1）!}$
=$\frac{n-m}{m+1}$；
（2）${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+1}^{m}$${+C}_{m}^{m}$
=${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+（${C}_{m+1}^{m}$+${C}_{m+1}^{m+1}$）
=${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+2}^{m+1}$
=…=${C}_{n-1}^{m}$+${C}_{n-1}^{m+1}$=${C}_{n}^{m+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算與化簡(jiǎn)能力，是基礎(chǔ)題目．