Question

6．已知三梭錐P-ABC中，PA=4，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（　　）

• A． 16π
• B． 32π
• C． 64π
• D． 128π

Answer 1

分析 根據(jù)已知求出△ABC外接圓的半徑，從而求出該三棱錐外接球的半徑和三棱錐的外接球表面積．

解答 解：在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
所以cosA=$\frac{{（2\sqrt{3}）}^{2}×2{-6}^{2}}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以△ABC的外接圓半徑r=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以三棱錐外接球的半徑R²=r²+${（\frac{PA}{2}）}^{2}$=${（2\sqrt{3}）}^{2}$+2²=16，
所以三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR²=64π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的外接球體積與計(jì)算能力的應(yīng)用問題，確定三棱錐的外接球半徑是解題的關(guān)鍵．