Question

18．已知正實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=10，則xyz的最大值為$\frac{4}{125}$．

Answer 1

分析 又條件可得z=1-（x+y），設(shè)xy=a，x+y=b，則xyz=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，設(shè)f（b）=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（b）的單調(diào)性，計算極值，根據(jù)b的范圍得出f（b）的最大值．

解答 解：∵x+y+z=1，∴z=1-（x+y），
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-（x+y）}=10$，
即$\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{1-（x+y）}$=10，
設(shè)xy=a，x+y=b，則0＜a＜1，0＜b＜1，
∴$\frac{a}+\frac{1}{1-b}=10$，化簡得a=$\frac{b-^{2}}{9-10b}$．
∴xyz=xy[1-（x+y）]=a（1-b）=（1-b）•$\frac{b-^{2}}{9-10b}$=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$．
令f（b）=$\frac{b（1-b）^{2}}{9-10b}$，則f′（b）=$\frac{-20^{3}+47^{2}-36b+9}{（9-10b）^{2}}$，
令f′（b）=0得-20b³+47b²-36b+9=0，即（4b-3）（5b-3）（1-b）=0，
解得b=$\frac{3}{5}$或b=$\frac{3}{4}$或b=1（舍），
∴當(dāng)0＜b＜$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}＜b＜1$時，f′（b）＞0，
當(dāng)$\frac{3}{5}＜b＜\frac{3}{4}$時，f′（b）＜0，
∴f（b）在（0，$\frac{3}{5}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{3}{4}$，1）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)b=$\frac{3}{5}$時，f（b）取得極大值f（$\frac{3}{5}$）=$\frac{4}{125}$．
又f（1）=0，
∴f（b）的最大值為$\frac{4}{125}$．
故答案為$\frac{4}{125}$．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)，將xyz轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（b）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．