Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x+a}$，（a＜3且a∈Z），且函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，定義在R上的函數(shù)g（x）=（x+b）（x²-8），且函數(shù)g（x）在x=1處的切線與直線x-y=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）•g（x），x≠-2\\-4{e^{-2}}，x=-2\end{array}$，試問：是否存在實數(shù)a，b，其中[a，b]⊆（-∞，4]，使得函數(shù)F（x）的值域也為[a，b]？若能，請求出相應的a、b；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）求得函數(shù)f（x）的導數(shù)，解不等式可得a=2，由直線垂直的條件，可得b=2，進而得到f（x），g（x）的解析式；
（II）求得當x≠-2時，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x•（x²-8）的導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，令h（x）=F（x）-x=e^x•（x²-8）-x，求得導數(shù)，判斷單調(diào)性，求得零點的范圍，可得a=-8e^-2，b=x₀，則x∈[a，b]⊆（-∞，4]，函數(shù)F（x）的值域仍為[a，b]．

解答 解：（ I）${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x+a-1）}}{{{{（x+a）}^2}}}$，
∵因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）單調(diào)遞增，
∴-1+a-1≥0⇒a≥2，∵a＜3，a∈Z，∴a=2，
g′（x）=3x²+2bx-8，函數(shù)g（x）在x=1處的切線與直線x-y=0垂直，
∴g′（1）=-1，∴b=2，
∴$f（x）=\frac{e^x}{x+2}$，g（x）=（x+2）（x²-8）；
（ II）當x≠-2時，F(xiàn)（x）=f（x）•g（x）=e^x•（x²-8），
又F（-2）=-4e^-2，∴F（x）=e^x•（x²-8），
∴F′（x）=2xe^x+x²e^x-8e^x，
令F′（x）＞0⇒x＜-4，x＞2
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-4]，[2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為[-4，2]．
又∵x→-∞，F(xiàn)（x）→0，F(xiàn)（-4）=8e^-4，F(xiàn)（2）=-4e²，F(xiàn)（4）=8e⁴，
令h（x）=F（x）-x=e^x•（x²-8）-x，
則h′（x）=e^x（x²+2x-8）-1，
當$x∈[2\sqrt{2}，4]$，h′（x）＞0，
又∵$h（2\sqrt{2}）＜0，h（3）＞0$，
∴$存在唯一的{x_0}∈（2\sqrt{2}，3）$，使得h（x₀）=0，即F（x₀）=x₀．
又y=8e^-4與y=x的交點的橫坐標小于$2\sqrt{2}$，
∴$F（{x_0}）＞F（2\sqrt{2}）＞F（-4）=8{e^{-4}}$，
所以令a=-8e^-2，b=x₀，
則x∈[a，b]⊆（-∞，4]，函數(shù)F（x）的值域仍為[a，b]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時考查兩直線垂直的條件和函數(shù)的值域問題，考查運算能力，屬于中檔題．