Question

16．已知O，A，B，C，P在同一平面上，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，$\overrightarrow{OP}$=$λ\overrightarrow{OA}$+$μ\overrightarrow{OB}$（1≤λ，μ≤2），則|$\overrightarrow{CP}$|的取值范圍是$[\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}，\frac{\sqrt{127}+\sqrt{3}}{4}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可求出$∠AOB=\frac{π}{3}$，并可由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（2\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=0$得出$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow）$，可取OB的中點(diǎn)D，并連接AD，從而可以得出點(diǎn)C在以AD為直徑的圓上．可延長(zhǎng)OA到A′，OB到B′，分別以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAEB，以O(shè)A′，OB′為鄰邊作平行四邊形OA′FB′，并延長(zhǎng)AE交B′F于H，延長(zhǎng)BE交A′F于G，從而平行四邊形EHFG及其內(nèi)部即為點(diǎn)P所在區(qū)域，取AD的中點(diǎn)O′，并連接O′E，O′F，可求出O′E，O′F的值，從而可以得出$|\overrightarrow{CP}|$的最小值和最大值，從而得出$|\overrightarrow{CP}|$的取值范圍．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴$∠AOB=\frac{π}{3}$；
由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（2\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=0$得，$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow）=0$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow）$；
如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$∠AOB=\frac{π}{3}$，取OB中點(diǎn)D，連接CA，CD，則：$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow=\overrightarrow{DC}$；
∴AC⊥DC；
∴C點(diǎn)在以AD為直徑的圓上
以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAEB，延長(zhǎng)OA到A′，使OA′=2，延長(zhǎng)OB到B′，使OB′=2，分別以O(shè)A′，OB′為鄰邊作平行四邊形OA′FB′，延長(zhǎng)BE交A′F于G，延長(zhǎng)AE交B′F于H；
則圖中陰影部分便為P點(diǎn)所在區(qū)域；
設(shè)AD的中點(diǎn)為O′，連接O′E，O′F，延長(zhǎng)DA交FA′的延長(zhǎng)線于D′；
據(jù)題意知，AD⊥OB，且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$O′A=\frac{\sqrt{3}}{4}$，$O′D′=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，且AE=1，D′F=$\frac{5}{2}$；
∴$O′E=\sqrt{\frac{3}{16}+1}=\frac{\sqrt{19}}{4}$，$O′F=\sqrt{\frac{27}{16}+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{127}}{4}$；
∴$|\overrightarrow{CP}|$的最小值為$\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}$，最大值為$\frac{\sqrt{127}+\sqrt{3}}{4}$；
∴$|\overrightarrow{CP}|$的取值范圍為$[\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}，\frac{\sqrt{127}+\sqrt{3}}{4}]$．
故答案為：[$\frac{\sqrt{19}-\sqrt{3}}{4}，\frac{\sqrt{127}+\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，已知三角函數(shù)值求角，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量垂直的充要條件，圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，向量加法的平行四邊形法則，以及直角三角形邊的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題的方法．