Question

1．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A是過F₂且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與雙曲線的一個交點，若△F₁F₂A為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 設點A是過F₂且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與雙曲線的一個交點，由△F₁F₂A為等腰直角三角形，可得A在雙曲線的左支，且AF₁⊥x軸，|AF₁|=|F₁F₂|，令x=-c，求得A的縱坐標，可得2c=$\frac{^{2}}{a}$，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設點A是過F₂且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與雙曲線的一個交點，
由△F₁F₂A為等腰直角三角形，可得A在雙曲線的左支，
且AF₁⊥x軸，|AF₁|=|F₁F₂|，
令x=-c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得2c=$\frac{^{2}}{a}$，即b²=c²-a²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用等腰直角三角形的定義，結合離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．