Question

14．兩個方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四個根成等差數(shù)列，0＜a＜b，且首項為$\frac{1}{2}$，則a=$\frac{7}{4}$；b=$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)兩個方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四個根分別為x₁，x₂，x₃，x₄，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=4，x₁•x₂=a，x₃+x₄=4，x₃•x₄=b．由于四個根成等差數(shù)列{a_n}，0＜a＜b，且首項為$\frac{1}{2}$，可得x₁=$\frac{1}{2}$=a₁，a₄=4-$\frac{1}{2}$，解得公差d．即可得出．

解答 解：設(shè)兩個方程：x²-4x+a=0和x²-4x+b=0的四個根分別為x₁，x₂，x₃，x₄．
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=a，x₃+x₄=4，x₃•x₄=b．
∵四個根成等差數(shù)列{a_n}，0＜a＜b，且首項為$\frac{1}{2}$，
則x₁=$\frac{1}{2}$=a₁，a₄=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$+3d，解得d=1．
∴a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{2}$，a₄=$\frac{7}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$=$\frac{7}{4}$，$b=\frac{3}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案分別為：$\frac{7}{4}$；$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．