Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）上有一動點M，經(jīng)過左焦點F且平行于OM的直線交橢圓C于A，B兩點（O為坐標(biāo)原點）．（1）若△OAM的面積最大值為1，求a的值；
（2）證明：|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點M為橢圓的短軸的一個端點時，不妨設(shè)為（0，1），可得S_△OAM=$\frac{1}{2}$c．當(dāng)點M不為橢圓的短軸的一個端點時，設(shè)直線OM的方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，解得x²，y²，可得|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．直線AB的方程為：y=k（x+c），點O到直線AB的距離d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用S_△OAM=$\frac{1}{2}d|AB|$，即可得出．
（2）證明：當(dāng)點M為橢圓的短軸的一個端點時，不妨設(shè)為（0，1），可得AB⊥x軸，|FA|=|FB|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}$，即可證明|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．當(dāng)點M不為橢圓的短軸的一個端點時，設(shè)直線OM的方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立解得x²，y²，可得|OM|²=x²+y²=$\frac{{a}^{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$．直線AB的方程為：y=k（x+c），與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|FA|•|FB|=（ex₁+a）（ex₂+a）=e²x₁x₂+ae（x₁+x₂）+a²=$\frac{{k}^{2}+1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，（a²-c²=1）．即可證明．

解答 （1）解：當(dāng)點M為橢圓的短軸的一個端點時，不妨設(shè)為（0，1），∵AB∥OM，則AB⊥x軸，∴S_△OAM=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}$c．
當(dāng)點M不為橢圓的短軸的一個端點時，設(shè)直線OM的方程為：y=kx，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，
∴|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$a\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$．
直線AB的方程為：y=k（x+c），點O到直線AB的距離d=$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△OAM=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}$•$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$a\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}•\frac{ca|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}c$$•\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}{a}^{2}}+1}}$$＜\frac{1}{2}c$．
因此當(dāng)AB⊥x軸時，S_△OAM取得最大值$\frac{1}{2}$c=1，解得c=2，∴$a=\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）證明：當(dāng)點M為橢圓的短軸的一個端點時，不妨設(shè)為（0，1），∵AB∥OM，則AB⊥x軸，|FA|=|FB|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}$，∴|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$．
當(dāng)點M不為橢圓的短軸的一個端點時，設(shè)直線OM的方程為：y=kx，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，
∴|OM|²=x²+y²=$\frac{{a}^{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$．
直線AB的方程為：y=k（x+c），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴|FA|•|FB|=（ex₁+a）（ex₂+a）=e²x₁x₂+ae（x₁+x₂）+a²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{{a}^{2}（{c}^{2}{k}^{2}-1）}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$+a²=$\frac{{k}^{2}+1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，（a²-c²=1）．
∴|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．
綜上可得：|FA|•|FB|=$\frac{|OM{|}^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論推理能力與計算能力，屬于難題．