Question

16．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）過點(diǎn)（-1，0）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程；
（Ⅱ）若0＜x＜1，不等式f（x）＞x+mxf（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x-mxf（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（x-x₀），
∵切線過點(diǎn)（-1，0），
∴0-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（-1-x₀），
即-ln（1+x₀）=-$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（1+x₀），解得x₀=e-1，
∴y₀=1，f′（x₀）=$\frac{1}{e}$，
∴切線方程為y-1=$\frac{1}{e}$（x-e+1），即x-ey+1=0，
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-x-mxf（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，
則F′（x）=-mln（1+x）+$\frac{1-mx}{1+x}$-1，x∈（0，1），
令g（x）=-mln（1+x）+$\frac{1-mx}{1+x}$-1，
g′（x）=-$\frac{mx+2m+1}{（1+x）^{2}}$，
當(dāng)m≤-$\frac{1}{2}$時，
∵x∈（0，1），
∴g′（x）＞0，
則函數(shù)F′（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）＞F′（0）=0，
則函數(shù)F（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
∴F（x）＞0，
當(dāng)m≥0時，
∵x∈（0，1），
∴g′（x）＜0，
則函數(shù)F′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴F′（x）＜F′（0）=0，
則函數(shù)F（x）在（0，1）單調(diào)遞減，
∴F（x）＜0，不合題意，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，令x₀=min{1，-$\frac{2m+1}{m}$}
當(dāng)x∈（0，x₀]時，g′（x）＜0，則函數(shù)F′（x）在（0，x₀]上單調(diào)遞減，
∴F′（x）＜F′（0）=0，
則函數(shù)F（x）在（0，0，x₀]單調(diào)遞減，
∴F（x）＜0，不合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒成立問題，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．