Question

9．求函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos²x+sinxcosx+$\frac{3}{2}$sin²x的最大值、最小值及取得最大最小值時(shí)相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式后，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性即可求得函數(shù)的最大值、最小值及取得最大最小值時(shí)相應(yīng)的x值．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$cos²x+sinxcosx+$\frac{3}{2}$sin²x=$\frac{1}{2}×\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+\frac{3}{2}×\frac{1-cos2x}{2}$=1+$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴由2x-$\frac{π}{4}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：當(dāng)x=k$π+\frac{3π}{8}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)的最大值為：1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
由2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得：當(dāng)x=k$π+\frac{7π}{8}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)的最小值為：1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．