19．求兩條漸近線為x±2y=0且截直線x-y-3=0所得弦長為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$的雙曲線方程．

分析 先假設(shè)雙曲線方程，再將直線代入雙曲線方程，進而借助于弦長公式，即可求得雙曲線方程

解答 解：設(shè)所求雙曲線的方程為x2-4y2=k（k≠0），
將y=x-3代入雙曲線方程得3x2-24x+k+36=0，
由韋達定理得x1+x2=8，x1x2=$\frac{k}{3}$+12，
由弦長公式得$\sqrt{1+1}$|x1-x2|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-\frac{4k}{3}-48}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得k=4，
故所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1．

點評 本題考查的重點是雙曲線方程，解題的關(guān)鍵是利用雙曲線的性質(zhì)，待定系數(shù)法假設(shè)雙曲線方程．

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