Question

12．已知：正四棱錐P-ABCD，O為正方形ABCD的中心，PA與底ABCD所成的角為α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（1）若E為PB的中點，求證：OE∥平面PCD；
（2）求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）若E為PB的中點，根據(jù)線面平行的判定定理證明OE∥DP，即可證明OE∥平面PCD；
（2）根據(jù)二面角的定義作出側(cè)面和底面的二面角的平面角，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系即可求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小．

解答 （1）證明：連接OE，
∵E為PB的中點，O為正方形ABCD的中心，
∴OE是三角形PDB的中位線，
則OE∥DP，
∵OE?平面PCD，DP?平面PCD，
∴OE∥平面PCD．
解：（2）取CD中點M，連接MO，PM，依條件可知CD⊥MO，CD⊥PO，則∠PMO為側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角．
∵PA與底ABCD所成的角為α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即cos∠PAO=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴設AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則cos∠PAO=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{PA}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
則PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵OM=$\frac{a}{2}$，
∴在直角三角形PM0中，tan∠PMO=$\frac{PO}{OM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．
即側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小是60°．

點評 本題主要考查了線面平行的判定依據(jù)二面角及其度量，根據(jù)線面平行的判定定理以及二面角的定義通過過巧妙設置輔助線找到二面角是解決本題的關(guān)鍵．．