Question

12．已知：正四棱錐P-ABCD，O為正方形ABCD的中心，PA與底ABCD所成的角為α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（1）若E為PB的中點(diǎn)，求證：OE∥平面PCD；
（2）求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）若E為PB的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的判定定理證明OE∥DP，即可證明OE∥平面PCD；
（2）根據(jù)二面角的定義作出側(cè)面和底面的二面角的平面角，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系即可求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大�。�

解答 （1）證明：連接OE，
∵E為PB的中點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心，
∴OE是三角形PDB的中位線，
則OE∥DP，
∵OE?平面PCD，DP?平面PCD，
∴OE∥平面PCD．
解：（2）取CD中點(diǎn)M，連接MO，PM，依條件可知CD⊥MO，CD⊥PO，則∠PMO為側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角．
∵PA與底ABCD所成的角為α，且cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即cos∠PAO=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴設(shè)AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則cos∠PAO=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{PA}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
則PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵OM=$\frac{a}{2}$，
∴在直角三角形PM0中，tan∠PMO=$\frac{PO}{OM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．
即側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小是60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行的判定依據(jù)二面角及其度量，根據(jù)線面平行的判定定理以及二面角的定義通過(guò)過(guò)巧妙設(shè)置輔助線找到二面角是解決本題的關(guān)鍵．．