Question

17．已知半徑為2，圓心在直線y=x+2上的圓C．
（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切時(shí)，求圓C的方程；
（2）已知E（1，1），F(xiàn)（1，3），若圓C上存在點(diǎn)Q，使|QF|²-|QE|²=32，求圓心橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，-a+2），圓的方程為（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4，利用圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切，建立方程，即可求圓C的方程；
（2）設(shè)Q（x，y），則由|QF|²-|QE|²=32得y=3，即Q在直線y=3上，根據(jù)Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，可得⊙C與直線y=3有交點(diǎn)，從而可求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵圓心在直線y=x+2上，
∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a+2），圓的方程為（x-a）²+[y-（a+2）]²=4，
∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2）且與y軸相切，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^{2}+[2-（-a+2）]^{2}=4}\\{|a|=2}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴所求方程是：（x-2）²+y²=4；
（2）設(shè)Q（x，y），則由|QF|²-|QE|²=32得：（x-1）²+（y+3）²-[（x-1）²+（y-1）²]=32，即y=3，
∴Q在直線y=3上，
∵Q在（x-a）²+[y-（-a+2）]²=4上，
∴⊙C與直線y=3有交點(diǎn)，
∵⊙C的圓心縱坐標(biāo)為-a+2，半徑為2，
∴⊙C與直線y=3有交點(diǎn)的充要條件是1≤-a+2≤5，
∴-3≤a≤1，即圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是-3≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．