Question

1．如圖，過點P作圓O的切線PC，切點為C，過點P的直線與圓O交于點A，B（PA＜PB），且AB的中點為D．
（1）求證：PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）若圓O的半徑為2，PC=4，圓心O到直線PB的距離為$\sqrt{2}$，求線段PA的長．

Answer 1

分析 （1）利用切割線定理證明PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）利用（1）的結(jié)論，求線段PA的長．

解答 （1）證明：∵過點P作圓O的切線PC，切點為C，過點P的直線與圓O交于點A，B（PA＜PB），
∴由切割線定理得PC²=PA•PB
∵AB的中點為D，
∴AD=BD，
∴PD²-PC²=PD²-PA•PB=PD²-（PD-AD）（PD+AD）=AD²，
由勾股定理得AD²=OA²-OD²，OA=OC，
∴PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）解：由題意，OD=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
由（1）PD²-PC²=OC²-OD²，
∵PC=4，
∴（PA+$\sqrt{2}$）²-4²=2²-2，∴PA=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切割線定理，考查學(xué)生的計算能力，正確運用切割線定理是關(guān)鍵．