Question

1．如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)PC，切點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓O交于點(diǎn)A，B（PA＜PB），且AB的中點(diǎn)為D．
（1）求證：PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）若圓O的半徑為2，PC=4，圓心O到直線(xiàn)PB的距離為$\sqrt{2}$，求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用切割線(xiàn)定理證明PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）利用（1）的結(jié)論，求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)PC，切點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓O交于點(diǎn)A，B（PA＜PB），
∴由切割線(xiàn)定理得PC²=PA•PB
∵AB的中點(diǎn)為D，
∴AD=BD，
∴PD²-PC²=PD²-PA•PB=PD²-（PD-AD）（PD+AD）=AD²，
由勾股定理得AD²=OA²-OD²，OA=OC，
∴PD²-PC²=OC²-OD²；
（2）解：由題意，OD=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
由（1）PD²-PC²=OC²-OD²，
∵PC=4，
∴（PA+$\sqrt{2}$）²-4²=2²-2，∴PA=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線(xiàn)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用切割線(xiàn)定理是關(guān)鍵．