Question

8．己知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線A₁C、DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出異面直線A₁C、DE所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角系，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則A₁（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），E（2，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
設(shè)異面直線A₁C、DE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴異面直線A₁C、DE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．