Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程；
（2）證明：|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，證明G（x）_max＜|f（x）|_min．

解答 （1）解：因?yàn)間（x）=lnx-2（x+1）（x＞0），
所以$g'（x）=\frac{1-2x}{x}，g'（1）=-1$，
又因?yàn)間（1）=-4，所以切點(diǎn)為（1，-4），
故所求的切線方程為：y+4=-（x-1），即y+x+3=0．
（2）證明：因?yàn)?f'（x）=\frac{1-x}{x}$，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是減少的，
∴f（x）_max=f（1）=ln1-1，|f（x）|_min=1，
設(shè)$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，則$G'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是減少的，
故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1，G{（x）_{max}}＜{|{f（x）}|_{min}}$，
所以$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．