Question

11．已知2^y•log_y4-2^y-1=0，$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log₅x=-1，問是否存在一個正整數P，使P=$\sqrt{\frac{1}{x}-y}$．

Answer 1

分析 由2^y•log_y4-2^y-1=2^y•log_y4-$\frac{{2}^{y}}{2}$=0可求y，再由$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log₅x=-1求出x即可．

解答 解：∵2^y•log_y4-2^y-1=2^y•log_y4-$\frac{{2}^{y}}{2}$=0，
∴y=16；
∵$\sqrt{lo{g}_{x}\sqrt{5x}}$•log₅x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{lo{g}_{x}\sqrt{5x}•lo{{g}_{5}}^{2}x=1}\end{array}\right.$，
解得，x=$\frac{1}{25}$；
故P=$\sqrt{\frac{1}{x}-y}$=$\sqrt{25-16}$=3．

點評 本題考查了指數函數與對數函數的應用及方程的解法，屬于基礎題．