【題目】已知函數(shù),(其中,是自然對數(shù)的底數(shù))。

)若關(guān)于的方程有唯一實根,求的值;

)若過原點作曲線的切線與直線垂直,證明:

)設(shè),當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

【答案】;()證明見解析;。

【解析】

試題分析:借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的知識求解;借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的知識推證;依據(jù)題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的知識求解。

試題解析:

)因為,所以,

設(shè),則,

當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,

因為方程有唯一根,

所以,且

,所以

)因為過原點所作曲線的切線與直線垂直,所以切線的斜率為,且方程為。

設(shè)與曲線的切點為,

所以,

所以,且,

,則,所以在(0,1)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,所以,

上單調(diào)遞減,所以。

,因為上單調(diào)遞增,且,則

所以(舍去)。

綜上可知,;

)因為,所以。

當(dāng)時,因為上遞增,所以,所以上遞增,恒成立,符合題意

當(dāng)時,因為上遞增,因為,則存在,使得所以上遞減,在上遞增,又時,,所以不恒成立,不合題意。綜合可知,所求實數(shù)的取值范圍是。

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在區(qū)間上可被替代;

可被替代的一個替代區(qū)間

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,則存在實數(shù),使得在區(qū)間上被替代;

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命題p且q為真 是命題p或q為真的必要不充分條件;

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