Question

某廠家準備在2014年12月份舉行促銷活動，依以往的數(shù)據(jù)分析，經(jīng)測算，該產(chǎn)品的年銷售量x萬件（假設(shè)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售），與年促銷費用y萬元（0≤m≤4）近似滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)），如果不促銷，該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格規(guī)定的每件產(chǎn)品生產(chǎn)平均成本的1.5倍，（產(chǎn)品生產(chǎn)平均成本指固定投入和再投入兩部分資金的平均成本）．
（1）將2014年該產(chǎn)品的年利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2014年的年促銷費用投入為多少萬元時，該廠家的年利潤最大？并求出最大年利潤．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入m=0，x=1求得k=2，每件新產(chǎn)品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

元，從而求利潤y=x•1.5×

8+16x

x

-（8+16x+m）并化簡；
（2）由基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由m=0，x=1得，k=2，則x=3-

2

m+1

，
每件新產(chǎn)品的銷售價格為：1.5×

8+16x

x

（元），
則2014年該產(chǎn)品的年利潤y=x•1.5×

8+16x

x

-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-

2

m+1

）-m
=-（

16

m+1

+m+1）+29，（0≤m≤4）．
（2）∵y=-（

16

m+1

+m+1）+29≤-2

16

+29=21，
（當(dāng)且僅當(dāng)

16

m+1

=m+1，m=3時，等號成立）．
即該廠家2014年的年促銷費用投入為3萬元時，該廠家的年利潤最大，最大年利潤為21萬元．

點評：本題考查了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．