Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x+2ax．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為0，求a的值；
（Ⅲ）若對于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導(dǎo)公式求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k=f′（0），利用點斜式方程求出切線的方程；
（Ⅱ）對a進行分類討論，當a≥0時f（x）=e^x+2ax＞0，不符合題意，當a＜0時，求出f′（x）以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再對臨界點與1的關(guān)系進行分類討論，分別求出
f（x）的最小值，結(jié)合條件求出a的值；
（Ⅲ）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x+2ax-e^-x，求出g′（x）后由基本不等式對a分類討論，分別求出g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值，結(jié)合恒成立列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=e^x+2x，則f′（x）=e^x+2，（2分）
∴在點（0，1）處的切線斜率為f′（0）=3，（3分）
所以在點（0，1）處的切線方程為：y-1=3x，
即3x-y+1=0；（4分）
（Ⅱ）當a≥0時，函數(shù)f（x）=e^x+2ax＞0，不符合題意．（5分）
當a＜0時，f′（x）=e^x+2a，
令e^x+2a=0，得x=ln（-2a），（6分）
所以，當x∈（-∞，ln（-2a））時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（ln（-2a），+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．（7分）
①當ln（-2a）≤1，即$-\frac{e}{2}$≤a＜0時，f（x）最小值為f（1）=2a+e．
解2a+e=0，得a=$-\frac{e}{2}$，符合題意．（8分）
②當ln（-2a）＞1，即a＜$-\frac{e}{2}$時，f（x）最小值為f[ln（-2a）]=-2a+2aln（-2a）．
解-2a+2aln（-2a）=0，得a=$-\frac{e}{2}$，不符合題意．（9分）
綜上，a=$-\frac{e}{2}$．
（Ⅲ）由題意設(shè)g（x）=e^x+2ax-e^-x，則g′（x）=e^x+e^-x+2a．（10分）
①當2a≥-2，即a≥-1時，
因為e^x+e^-x≥2，所以g′（x）≥0，（且a=-1時，僅當x=0時g′（x）=0）
所以g（x）在R上單調(diào)遞增．
又g（0）=0，所以，當a≥-1時，對于任意x≥0都有g(shù)（x）≥0．（12分）
②當a＜-1時，由g′（x）=e^x+e^-x+2a＜0，得（e^x）²+2ae^x+1＜0，
得$-a-\sqrt{{a}^{2}-1}$$＜{e}^{x}＜-a+\sqrt{{a}^{2}-1}$，
其中$0＜-a-\sqrt{{a}^{2}-1}＜1$且$-a+\sqrt{{a}^{2}-1}＞1$，
所以$ln（-a-\sqrt{{a}^{2}-1}）＜x＜ln（-a+\sqrt{{a}^{2}-1}）$，
且$ln（-a-\sqrt{{a}^{2}-1}）＜0$，$ln（-a+\sqrt{{a}^{2}-1}）＞0$，
所以g（x）在（0，$ln（-a+\sqrt{{a}^{2}-1}）$）上單調(diào)遞減．
又g（0）=0，所以存在x₀∈（0，$ln（-a+\sqrt{{a}^{2}-1}）$），使g（x₀）＜0，不符合題意．
綜上可得，a的取值范圍為[-1，+∞）．（14分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡、變形能力，綜合性強，難度大，屬于中檔題．