Question

11．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，M是BC邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，且EF∥BC，設(shè)AE=x．如圖，沿EF將四邊形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EM；
（2）當(dāng)x變化時(shí)，求四棱錐D-BCEF的體積f（x）的函數(shù)式．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥EF于H，連結(jié)BH，MH，EM，證明DH⊥平面EBCF．然后推出EM⊥平面BDH．即可證明EM⊥BD．（2）設(shè)DH=AE=x為四棱錐D-BCFE的高，求出底面面積然后求解體積的函數(shù)解析式．

解答 解析：（1）證明：如圖，作DH⊥EF于H，連結(jié)BH，MH，EM，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF．

又EM?平面EBCF，∴EM⊥DH．∵$EH=AD=\frac{1}{2}BC$，EF∥BC，∠EBC=90°，
∴四邊形BMHE為正方形，∴EM⊥BH．∴EM⊥平面BDH．
又BD?平面BDH，
∴EM⊥BD．…（6分）
（2）由（1）知，DH=AE=x為四棱錐D-BCFE的高，∵AE=x，∴BE=4-x，$EF=2+\frac{1}{2}x$，
∴$\begin{array}{c}{S}_{BCFE}=\frac{1}{2}（EF+BC）•BE=\frac{1}{2}（2+\frac{1}{2}x+4）•（4-x）\end{array}\right.$=$\begin{array}{c}\\-\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+12.\end{array}\right.$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{S_{BCFE}}•x=-\frac{1}{12}{x^3}-\frac{2}{3}{x^2}+4x$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．