Question

7．已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x²+5y²=80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸正半軸上）．
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；
（2）若角A為90°，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出B，C及BC中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式求出BC所在直線的斜率，則直線BC的方程可求；
（2）由A為90°，可得AB⊥AC，進(jìn)一步得到x₁x₂+y₁y₂-14（y₁+y₂）+16=0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后由交軌法可得點(diǎn)D的軌跡方程．

解答 解：（1）由4x²+5y²=80，得$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中點(diǎn)為（x₀，y₀），BC所在直線的斜率為k，
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$．
兩式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{16}=0$．
則$\frac{{x}_{0}}{5}+\frac{{y}_{0}k}{4}=0$．①
又由橢圓方程可得A（0，4），橢圓右焦點(diǎn)F（2，0），且已知F為三角形ABC的重心，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=2$，即x₀=3．
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4}{3}=0$，即y₀=-2．
把x₀=3，y₀=-2代入①，得$k=\frac{6}{5}$．
∴直線BC的方程為6x-5y-28=0；
（2）由AB⊥AC，得x₁x₂+y₁y₂-14（y₁+y₂）+16=0．②
設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，
代入4x²+5y²=80，得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-10bk}{4+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5^{2}-80}{4+5{k}^{2}}$，
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8k}{4+5{k}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4^{2}-80{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$．
代入②得：$\frac{9^{2}-32b-16}{4+5{k}^{2}}=0$，解得：b=4（舍）或b=-$\frac{4}{9}$．
則直線過定點(diǎn)（0，-$\frac{4}{9}$），設(shè)D（x，y），
$\frac{y+\frac{4}{9}}{x}•\frac{y-4}{x}=-1$，整理得：9y²+9x²-32y-16=0．
∴點(diǎn)D的軌跡方程是${x}^{2}+（y-\frac{16}{9}）^{2}=（\frac{20}{9}）^{2}$（y≠4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”、“交軌法”求點(diǎn)的軌跡問題，屬中檔題．