Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），g（x）=tx-$\frac{t-1+2e}{x}$-lnx，t∈R．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）當(dāng)t=0時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得g（x₀）＞f（x₀）成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上是恒大于等于0的，由此得出a的范圍．
（2）當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)g（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可以得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及極值．
（3）由不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求最值問題．只需最大值大于0即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=-$\frac{1}{sinθ}$$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-\frac{1}{sinθ}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
即x-$\frac{1}{sinθ}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴sinθ≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，
∵y=$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上的最大值為1，
∴sinθ≥1，
∵θ∈（0，π），
∴θ=$\frac{π}{2}$．
（2）∵g（x）=tx-$\frac{t-1+2e}{x}$-lnx，t∈R，定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)t=0時(shí)，g（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx，
g′（x）=$\frac{2e-1-x}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=2e-1，
∴x∈（0，2e-1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，x∈（2e-1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）的極大值為g（2e-1）=-1-ln（2e-1），
g（x）的遞增區(qū)間是（0，2e-1），遞減區(qū)間是（2e-1，+∞），
（3）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得g（x₀）＞f（x₀）成立，
令F（x）=g（x）-f（x）=）=tx-$\frac{t+2e}{x}$-2lnx
①當(dāng)t≤0時(shí)，由x∈[1，e]有tx-$\frac{t}{x}$≤0，且-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
∴
∴此時(shí)不存在x∈[1，e]使得g（x₀）＞f（x₀）成立
②當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=t+$\frac{t+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{t{x}^{2}-2x+t+2e}{{x}^{2}}$
又∵x∈[1，e]
∴2e-2x≥0，又tx²+t＞0
∴F′（x）在[1，e]上恒成立，
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增
∴F（x）_max=F（e）=te-$\frac{t}{e}$-4
令te-$\frac{t}{e}$-4＞0
則t＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$
故所求t的取值范圍為（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，由導(dǎo)函數(shù)可以確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及極值最值問題．屬于較難題目．