Question

12．如圖，網(wǎng)格紙上小方格的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的表面積為（　�。�

• A． 14+6$\sqrt{5}$
• B． 28+6$\sqrt{5}$
• C． 28+12$\sqrt{5}$
• D． 36+12$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 幾何體為從正方體中切出來(lái)的四棱錐，作出直觀圖，計(jì)算各個(gè)面的面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體是從邊長(zhǎng)為4的正方體中切出的四棱錐P-ABCD，作出直觀圖：
其中A，D為正方體棱的中點(diǎn)，P，B，C是正方體的頂點(diǎn)．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×4×4$=8，S_△PBC=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
由勾股定理可得AB=PA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．S_矩形ABCD=4×$2\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
由勾股定理得PC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，PD=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
由余弦定理得cos∠PCD=$\frac{P{C}^{2}+C{D}^{2}-P{D}^{2}}{2PC•CD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sin∠PCD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=12．
∴幾何體的表面積為8+8+4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$+12=28+12$\sqrt{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不規(guī)則放置的空間幾何體的三視圖和面積計(jì)算，以正方體為模型作出棱錐的直觀圖是解題關(guān)鍵．