Question

12．已知圓O：x²+y²=1和雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．若對雙曲線C上任意一點(diǎn)A（點(diǎn)A在圓O外），均存在與圓O外切且頂點(diǎn)都在雙曲線C上的菱形ABCD，則$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=1．

Answer 1

分析 由題意可通過特殊點(diǎn)，取A（-1，t），則B（-1，-t），C（1，-t），D（1，t），由直線和圓相切的條件：d=r，求得t=1，代入雙曲線方程，即可得到所求值．

解答 解：若對雙曲線C上任意一點(diǎn)A（點(diǎn)A在圓O外），
均存在與圓O外切且頂點(diǎn)都在雙曲線C上的菱形ABCD，
可通過特殊點(diǎn)，取A（-1，t），
則B（-1，-t），C（1，-t），D（1，t），
由直線和圓相切的條件可得，t=1．
將A（-1，1）代入雙曲線方程，可得$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓相切的條件，屬于基礎(chǔ)題．