Question

已知動點P在函數(shù)f（x）=-

4

x+2

的圖象上，定點M（-4，-2），則線段PM長度的最小值是

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：【解法一】設(shè)出點P（x，-

4

x+2

），列出|PM|的表達式，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出|PM|²的最小值；
【解法二】設(shè)切線方程斜率為k，根據(jù)k•k_MP=-1，求出p點坐標，從而得|MP|的最小值．

解答： 解：【解法一】根據(jù)題意，設(shè)點P（x，-

4

x+2

），
又M（-4，-2），
∴|PM|=

(x+4)2+(- 4 x+2 +2)2

；
設(shè)x+2=t（t≠0），
則|PM|²=（t+2）²+(2-

4

t

)2
=t²+4t-

16

t

+

16

t2

+8，
令f（t）=t²+4t-

16

t

+

16

t2

，
∴f′（t）=2t+4+

16

t2

-

32

t3

=

2t4+4t3+16t-32

t3

；
令f′（t）=0，得2t⁴+4t³+16t-32=0，
即t⁴+2t³+8t-16=0；
分解因式，得（t⁴+2t³-4t²）+（4t²+8t-16）=0，
∴t²（t²+2t-4）+4（t²+2t-4）=0，
即（t²+4）（t²+2t-4）=0；
∵t²+4≠0，
∴t²+2t-4=0，
解得t=-1±

5

；
∴當(dāng)t=-1+

5

時，|PM|²=(1+

5

)2+(2-

4

-1+ 5

)2=12，
當(dāng)t=-1-

5

時，|PM|²=(1-

5

)2+(2-

4

-1- 5

)2=12，
∴當(dāng)t=-1±

5

時，|PM|²取得最小值12，
此時x=-3+

5

或x=-3-

5

；
∴|PM|長度的最小值是2

3

．
【解法二】∵f（x）=-

4

x+2

，
∴f′（x）=

4

(x+2)2

，
設(shè)符合條件的曲線f（x）上的切點為P（x₀，y₀），
則過該點的切線的斜率為k=

4

(x0+2)2

，
∴直線PM的斜率為k_PM=-

(x0+2)2

4

，
∴直線PM的方程為y+2=-

(x0+2)2

4

（x+4）；
則

y+2=- (x0+2)2 4 (x+4) y=- 4 x+2

，
∴點P（x₀，y₀）滿足方程組，
即-

4

(x0+2)

+2=-

(x0+2)2

4

（x₀+4）；
設(shè)t=x₀+2，∴上式化為-

4

t

+2=-

t2

4

（t+2），
整理得t⁴+2t³+8t-16=0；
以下解答同解法一．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，也考查了兩點間的距離公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．